توزیع پیوستهٔ بار و قانون گاوس

تک‌بارها تمام شدند. دنیای واقعی سیم و صفحه و کره است — بارِ پخش‌شده. خبر خوب: با تقارن، جواب‌ها از تک‌بار هم ساده‌تر می‌شوند.

تکه‌تکه کن و جمع بزن

هر توزیع پیوسته را به ذره‌های خیلی کوچک dq می‌شکنیم؛ میدان هر ذره $dE=kdq/r^2$ است و جمعشان انتگرال می‌شود: $\vec{E}=\int d\vec{E}$.

نوع پخش را با چگالی توصیف می‌کنیم: خطی $\lambda =Q/L$، سطحی $\sigma =Q/A$ و حجمی $\rho =Q/V$. هر مسئلهٔ پیوسته از همین‌جا شروع می‌شود: «بار چطور پخش شده؟ پس dq چیست؟»

دو توزیعِ آموزنده

حلقهٔ باردار روی محورش میدانی می‌سازد که فقط مؤلفهٔ محوری‌اش زنده می‌ماند: $E=kQx/(R^2+x^2{)}^{3/2}$. در مرکز صفر است (تقارن کامل) و از دور مثل تک‌بار می‌شود — هر دو حد را برای چک کردن جواب نگه دار.

صفحهٔ بزرگ غافلگیرکننده است: میدانش $E=\sigma /2{ϵ}_0$ مستقل از فاصله است. هرچه دورتر می‌روی بارِ بیشتری می‌بینی و این دو اثر همدیگر را خنثی می‌کنند.

قانون گاوس: میان‌بُرِ تقارن‌ها

سه کاربردش را مثل جدول ضرب حفظ کن: کره ($E=kQ/r^2$ بیرون، خطی داخل)، سیم بلند ($E=\lambda /2\pi {\epsilon }_{0}r$) و صفحه ($E=\sigma /2{ϵ}_0$). به توان فاصله دقت کن: نقطه $1/r^2$، سیم $1/r$، صفحه ثابت. هرچه چشمه گسترده‌تر، افت کندتر.

با مربی گاوس، هر سه حالت را با عدد ببین — مخصوصاً گذر از سطح کره که رفتار میدان عوض می‌شود:

از جزوه چه ماند؟

این درس هر یازده مبحث فایل اول پارت دوم را پوشش می‌دهد: انتگرال توزیع پیوسته، هر سه چگالی، میدان سیم و حلقه و صفحه، تعریف شار، سطح گاوسی و سه تقارن، و میدان کره (داخل و خارج)، استوانه و صفحه — از جمله مثال عددی کره.

قدم بعدی: تمرین این بخش و بعد پتانسیل و خازن.